Onde As Equações Diferenciais Se Aplicam

Onde As Equações Diferenciais Se Aplicam
Onde As Equações Diferenciais Se Aplicam
Anonim

Muitos alunos que estudam matemática superior em seus últimos anos provavelmente se perguntaram: onde as equações diferenciais (ED) são aplicadas na prática? Via de regra, essa questão não é discutida nas aulas expositivas e os professores passam imediatamente a resolver a EAD sem explicar aos alunos a aplicação das equações diferenciais na vida real. Tentaremos preencher essa lacuna.

Equações diferenciais
Equações diferenciais

Vamos começar definindo uma equação diferencial. Portanto, uma equação diferencial é uma equação que conecta o valor da derivada de uma função com a própria função, os valores da variável independente e alguns números (parâmetros).

A área mais comum em que as equações diferenciais são aplicadas é a descrição matemática dos fenômenos naturais. Eles também são usados na resolução de problemas onde é impossível estabelecer uma relação direta entre alguns valores que descrevem um processo. Esses problemas surgem na biologia, física, economia.

Em biologia:

O primeiro modelo matemático significativo que descreve comunidades biológicas foi o modelo Lotka-Volterra. Ele descreve uma população de duas espécies interagindo. O primeiro deles, chamado de predadores, na ausência do segundo, morre de acordo com a lei x ′ = –ax (a> 0), e o segundo - presa - na ausência de predadores multiplica-se indefinidamente de acordo com a lei de Malthus. A interação desses dois tipos é modelada da seguinte maneira. As vítimas morrem a uma taxa igual ao número de encontros de predadores e presas, que neste modelo é assumido ser proporcional ao tamanho de ambas as populações, ou seja, igual a dxy (d> 0). Portanto, y ′ = por - dxy. Predadores se reproduzem em uma taxa proporcional ao número de presas comidas: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sistema de equações

x ′ = –ax + cxy, (1)

y ′ = por - dxy, (2)

o predador-presa que descreve tal população é chamado de sistema (ou modelo) Lotka-Volterra.

Na física:

A segunda lei de Newton pode ser escrita na forma de uma equação diferencial

m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), onde m é a massa do corpo, x é sua coordenada, F (x, t) é a força que atua sobre o corpo com coordenada x no tempo t. Sua solução é a trajetória do corpo sob a ação da força especificada.

Em economia:

Modelo de crescimento natural da produção

Assumiremos que alguns produtos são vendidos a um preço fixo P. Seja Q (t) a quantidade de produtos vendidos no tempo t; então, neste ponto no tempo, a renda é igual a PQ (t). Que uma parte da receita especificada seja gasta em investimentos na produção de produtos vendidos, ou seja, I (t) = mPQ (t), (1)

onde m é a taxa de investimento - um número constante e 0

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