Muitos alunos que estudam matemática superior em seus últimos anos provavelmente se perguntaram: onde as equações diferenciais (ED) são aplicadas na prática? Via de regra, essa questão não é discutida nas aulas expositivas e os professores passam imediatamente a resolver a EAD sem explicar aos alunos a aplicação das equações diferenciais na vida real. Tentaremos preencher essa lacuna.
Vamos começar definindo uma equação diferencial. Portanto, uma equação diferencial é uma equação que conecta o valor da derivada de uma função com a própria função, os valores da variável independente e alguns números (parâmetros).
A área mais comum em que as equações diferenciais são aplicadas é a descrição matemática dos fenômenos naturais. Eles também são usados na resolução de problemas onde é impossível estabelecer uma relação direta entre alguns valores que descrevem um processo. Esses problemas surgem na biologia, física, economia.
Em biologia:
O primeiro modelo matemático significativo que descreve comunidades biológicas foi o modelo Lotka-Volterra. Ele descreve uma população de duas espécies interagindo. O primeiro deles, chamado de predadores, na ausência do segundo, morre de acordo com a lei x ′ = –ax (a> 0), e o segundo - presa - na ausência de predadores multiplica-se indefinidamente de acordo com a lei de Malthus. A interação desses dois tipos é modelada da seguinte maneira. As vítimas morrem a uma taxa igual ao número de encontros de predadores e presas, que neste modelo é assumido ser proporcional ao tamanho de ambas as populações, ou seja, igual a dxy (d> 0). Portanto, y ′ = por - dxy. Predadores se reproduzem em uma taxa proporcional ao número de presas comidas: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sistema de equações
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = por - dxy, (2)
o predador-presa que descreve tal população é chamado de sistema (ou modelo) Lotka-Volterra.
Na física:
A segunda lei de Newton pode ser escrita na forma de uma equação diferencial
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), onde m é a massa do corpo, x é sua coordenada, F (x, t) é a força que atua sobre o corpo com coordenada x no tempo t. Sua solução é a trajetória do corpo sob a ação da força especificada.
Em economia:
Modelo de crescimento natural da produção
Assumiremos que alguns produtos são vendidos a um preço fixo P. Seja Q (t) a quantidade de produtos vendidos no tempo t; então, neste ponto no tempo, a renda é igual a PQ (t). Que uma parte da receita especificada seja gasta em investimentos na produção de produtos vendidos, ou seja, I (t) = mPQ (t), (1)
onde m é a taxa de investimento - um número constante e 0
